题目
By looking through a single water droplet placed on a glass surface, one can observe that the droplet acts as an imaging system. Investigate the magnification and resolution of such a lens.
通过观察放置在玻璃表面上的单个水滴，人们可以观察到水滴充当成像系统。探究这样一个透镜的放大倍数和分辨率。
理论
水滴形状参考"Making sessile drops easier"使用的求解杨-拉普拉斯方程方法计算。
需要的参数有：
- 水的密度 - 重力加速度 - 水的表面张力系数 - 水和玻璃的接触角 -
水的体积
由形状可计算出傍轴曲率半径，傍轴水滴厚度。
再补充一些参数：
- 玻璃的厚度 - 玻璃的折射率 - 水的折射率 - 空气的折射率
知道了整个光学系统的几何特性和折射率特性，即可算出该光学系统的放大率-物距关系和像距-物距关系。
具体计算如下：
在傍轴球面组中，有拉格朗日-亥姆霍兹不变量： \[\begin{align}ynu=y'n'u'=y''n''u''=......\end{align}\]
其中\(y,y',y'',......\)是物或某一次成像的大小，\(n,n',n'',......\)是某一次成像的介质折射率，\(u,u',u'',......\)是某一条光路在每一次折射后与主光轴的夹角，靠近主光轴取负，远离主光轴取正。
这一不变量与折射次数无关，因此借助光线追迹，可以很方便的求出球面组成像的总放大率。
如图所示，水滴透镜的傍轴光学系统可以抽象成以下形式：
首先在物距\(s\)处，发出一条夹角为u的光线，经过三个表面的折射，以\(-u'\)射向主光轴上像距\(s'\)点。
由光线追迹，利用简单的几何以及傍轴近似，可以得出 \[\begin{align}
((n_2-n_0)s+(\frac{n_0n_2}{n_1}-\frac{n_0^2}{n_1})d_1+(n_0-\frac{n_0^2}{n_2})d_2-n_0r)u=-n_0ru'
\end{align}\] 由拉格朗日-亥姆霍兹不变量，放大率可表示为： \[\begin{align}
\beta&=\frac{y'}{y}=\frac{u}{u'}\\
&=\frac{n_0r}{n_0r-(\frac{n_0n_2}{n_1}-\frac{n_0^2}{n_1})d_1-(n_0-\frac{n_0^2}{n_2})d_2-(n_2-n_0)s}
\end{align}\] 像距和物距的关系可表示为： \[\begin{align}
s'&=\beta(s+\frac{n_0}{n_1}d_1+\frac{n_0}{n_2}d_2)\\
&=\frac{\frac{n_0^2}{n_1}rd_1+\frac{n_0^2}{n_2}rd_2+n_0rs}{n_0r-(\frac{n_0n_2}{n_1}-\frac{n_0^2}{n_1})d_1-(n_0-\frac{n_0^2}{n_2})d_2-(n_2-n_0)s}
\end{align}\] \[\begin{align}
s=\frac{(n_0r-(\frac{n_0n_2}{n_1}-\frac{n_0^2}{n_1})d_1-(n_0-\frac{n_0^2}{n_2})d_2)s'-(\frac{n_0^2}{n_1}rd_1+\frac{n_0^2}{n_2}rd_2)}{n_0r+(n_2-n_0)s'}
\end{align}\] 令物距\(s\rightarrow+\infty\)得像方焦距 \[\begin{align}
f'=s'=-\frac{n_0r}{n_2-n_0}
\end{align}\] 令像距\(s'\rightarrow-\infty\)得物方焦距 \[\begin{align}
f=s=\frac{n_0r-(\frac{n_0n_2}{n_1}-\frac{n_0^2}{n_1})d_1-(n_0-\frac{n_0^2}{n_2})d_2}{n_2-n_0}
\end{align}\]
完整代码如下:
1 | V = 0.1; (*水的体积*) |
实验
水滴的形状
实际上可以通过接触角仪测得。
(2024.3.13)已测得，与理论符合较好，且本理论明显优于球冠拟合以及(不知道谁做的不靠谱的)半椭球形拟合。
焦距
用目视显微镜可以测量- 也可以采用"Talbot intcrtrometry and ray tracing"方法
目视显微镜法
参考助教提供的方案。
(2024.3.20)经过理论计算，如果想让水滴成实像，仅靠垫玻璃片实现是不够的，而且显微镜下的距离也不够物距+像距。该方法已舍弃。
"Talbot intcrtrometry and ray tracing"方法
原理
参见"A new technique for measuring the effective focal length of a thick lens or a compound lens"
仪器
- 准直的单色光源
- 光栅1、2，周期分别为\(P_1\)、\(P_2\)
- CCD相机和计算机
- 游标卡尺，主尺可固定在铁架台上，游标可连接到光栅2上
- 铁架台
结构如图所示
测量步骤
- 安装好仪器，调整两光栅刻线夹角为\(\theta\)，滴上一定体积水滴，打开光源
- 读出光栅2初始位置\(d_1\)，调整光栅1位置直到摩尔图样对比度最好，拍摄此时摩尔图样1
- 向上移动光栅2，读出此时光栅2位置\(d_2\)，调整光栅1位置直到摩尔图样对比度最好，拍摄此时摩尔图样2
数据处理
光栅2移动的距离为\(d=d_2-d_1\)
通过计算机读取摩尔图样1、2，其相对于光栅1刻度方向的偏转角度分别\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)
显然，水滴的焦距是比较小的，故光栅2最好始终放在焦点以外。那么，计算焦距的公式为：
\[f=\frac{P_1}{P_2}d(\frac{1}{tan\alpha_1sin\theta+cos\theta}-\frac{1}{tan\alpha_2sin\theta+cos\theta})\]
如果光栅夹角\(\theta\)以及计算机处理图像得到的\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)能够确保足够准确，测量的不确定度主要取决于\(d\)，也就是与卡尺的精度相当。
分辨率
实际上可以由分辨率板衡量。
镜头的分辨率常用单位距离内能分辨的线对数(如每毫米线对数，单位为对/mm)来表示。艾里斑的大小与光的波长和通光口径有关，即艾里斑的半角满足\[sin\theta=1.22\lambda /D\]其中，入是光的波长；D是通光口径的直径。按照光的衍射理论和瑞利判据的定义，在没有像差的条件下，镜头的分辨率仅与镜头的相对孔径有关，若以能分辨的两点距离来表示，则有\[d=\frac{1.22\lambda f}{D}\]镜头的分辨率通常用每毫米能分辨的线对数N来表示，此时有: \[N_1=1/d=\frac{D}{1.22\lambda f}\]然而，整个系统的分辨率是由整体系统共同决定的，本实验因为用到了CCD/CMOS相机成像，所以整个系统的分辨率由镜头分辨率和 CCD/CMOS相机分辨率两部分组成。设镜头的分辨率为\(N_1\),CCD/CMOS相机芯片的分辨率为\(N_C\)，则系统的分辨率N可由下面的公式来表示\[\frac{1}{N}=\frac{1}{N_C}+\frac{1}{N_1}\]其中，CCD/CMOS相机的分辨率N 可以根据它的像元大小计算得到。 因此，若将分辨率板作为目标物，通过 CCD/CMOS相机采集被测镜头像平面上的分辨率板的像，通过图像处理得到恰好能分辨的最小两线间距d(单位为mm),求其倒数可得系统的分辨率\(N\)；再根据像元大小求出\(N_C\)，即可算出镜头的分辨率\(N_1\)。
可见，分辨率是与光源波长，水滴焦距有关的。 既然光源有限，波长数据不够多，可以确定一个波长不变，通过改变体积、接触角等因素，改变水滴焦距，测量分辨率数据。
另外，读分辨率板的结果其实是水滴和眼睛（或相机）共同构成的光学系统的分辨率，而人眼的分辨率并不容易定量衡量，也不够精确，故很有必要采取相机-水滴系统读取分辨率值。
在测量中，我们必须把分辨率板准确地放在水滴的焦点处，所以必须有能够准确控制位置的竖直方向光具座，而不能仅用几片玻璃片不精确地叠加在水滴下面。
未完待续