基于瞬态平面热源法的变温导热系数实验探究

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摘要

本文设计并搭建了一套基于瞬态平面热源法的导热系数测量装置，利用恒温箱控制温度，对不同材料的变温导热系数进行了测量。实验结果表明，对于不良导体，测量结果与参考值基本一致，并且能够进行变温导热系数的测量，验证了此方法的可行性和准确性；而对于良导体，由于传感器几何尺寸相对较大，测量结果与参考值相差较大，需要定制更小尺寸的热盘传感器以提高测量精度。此实验方案具有较高的可复制性，可作为大学物理导热系数测量实验的扩展与改进。

关键词： 瞬态平面热源法；导热系数；变温导热系数

引言

导热系数是描述材料热物性的重要参数。对于导热系数的测量方法主要分为稳态法和动态法两种方式。其中稳态法原理简单，是大学物理实验中的常用传统方法，但只能对不良导体的导热系数进行测量，且测量时间较长，并且测量时需要形成较大的温度梯度，因而无法测量变温导热系数。而动态法是实际应用中常用的测量方法，包括激光闪射法、热线法、瞬态平面热源法等，适用于各种不同的导热介质，测量时间较短，且测量精度较高，此外温升较小，可以进行变温导热系数测量。

瞬态平面热源法于1991年由Gustafsson提出，是由热线法改进而来的，如今已广泛应用于良导体和不良导体的导热系数测量当中。其基本原理是利用盘绕成螺旋状的圆盘电阻丝（Hot Disk）作为可量热的瞬态热源，加热与热盘两侧的紧密接触的待测材料，同时借助热盘本身的电阻随温度的变化关系，得到热盘处温度在加热过程中的变化，从而可以得到两侧材料的热传导性质。

本实验搭建了一套基于瞬态平面热源法的测量装置，并利用恒温箱控制温度，对不同材料的变温导热系数进行测量。

实验原理

热盘温升与待测材料热物性的关系

在平面热源恒定功率加热的过程中，由于温度上升与热量向两侧材料传导的情况有关，因此温升曲线可以反映材料的热导率、热扩散系数等热物性。

热盘传感器与样品布置示意图

热盘传感器与样品布置示意图

对于直径为 a 的热盘传感器，在恒定功率 P₀ 的情况下，平均温升可以表示为

其中 Λ 是热盘两侧待测材料的热导率，而

其中 m 是热盘的圈数，I₀ 是0阶的第一类修正贝塞尔函数，而 定义为无量纲时间，其中 κ 是待测材料的热扩散系数，t 是加热的时间。

因此，通过测量热盘加热过程中的温度变化，可以反映材料的热导率与热扩散系数等热物性。

如上式所示，实际测得的 与理论的 D_s(τ) 之间为线性关系，其斜率 P₀(π^3/2aΛ)⁻¹ 中包含导热系数 Λ。因此可以通过将实际测得的温升曲线与理论曲线进行线性拟合，得到待测材料的热导率。

然而如 D_s(τ) 的表达式，理论曲线 D_s(τ) 中包含待测材料的热扩散系数 κ 这一未知参数，因此在实际计算中，需要将 κ 作为优化参数，不断迭代，找到使 与 D_s(τ) 拟合度最高的 κ 值，然后进行线性拟合获取热导率 Λ。具体算法详见下文“数据处理方法”一节。

热盘电阻与温度的关系

而对于加热过程中的温度测量，有热盘电阻随平均温度的变化

其中 R₀ 是热盘的初始电阻， 是热盘的电阻-温度系数。

对于一般的金属材料，如本实验中所选取的镍，电阻率温度系数在一定范围内保持恒定，因此电阻与温度可视为线性关系，因此可以通过测量加热过程中的热盘电阻，通过简单的线性映射，得到热盘的平均温度变化。

实验装置

基于上述原理，设计了如下实验装置。

实验装置示意图

实验装置实物图

热盘传感器

热盘传感器是实验中的核心部件，有如下要求：

• 传感器厚度要尽可能薄，以减小热容，提高测量精度。
• 封装薄膜厚度要尽可能薄，以减小热阻，提高测量精度。
• 电阻-温度系数要尽可能大，以提高温度测量精度。
• 热盘直径要足够小，以满足无限大导热介质的理论条件。

由于金属当中，镍的电阻率温度系数相对较大，因此选用了0.1mm的镍箔；由于几何尺寸较小且加工精度要求较高，因此采取激光切割的方式加工，两侧由聚酰亚胺薄膜封装。

热盘传感器实物图

在此传感器的设计中，考虑到连接线、非热盘部分以及焊接点电阻的影响，因此设计了直接从热盘区域引出的四个电极，采取四线法测量的方式，精确测量热盘区域的电阻。在 27°C 的室温下，测量的热盘区域电阻为 0.468 Ω，与理论计算值相符。

在实验中，将样品、热盘传感器按上述方式布置，并用夹具压紧，以保证良好的热接触。

测量电路

在如下的测量电路中，热盘电阻 0.468 Ω（27°C）与标准电阻 0.500 Ω 阻值基本一致，电源为 ITECH IT6942A 恒压输出，以保证加热过程中，输出功率基本恒定。

数据采集器选用 Keysight DAQ970A，通过双通道复用，实现两路电压的同时采集。

采取此测量电路，可以消除连接线电阻对测量结果的影响。

测量电路图

温度控制系统

为进行变温导热系数测量，需要将样品处于不同的温度下，进行热导率测量。

温度控制系统采用恒温箱，稳定性为 ±1°C。

实验方法

热盘传感器温度系数标定

1. 将热盘传感器放入恒温箱，在 30°C–100°C 之间每间隔 5°C 设定温度。
2. 将传感器的四个电极按四线法连接方式连接到数据采集器，设定为“Ohms 4W”测量电阻，积分时间设定为能够消除工频噪声的最低时间“1 PLC”，以尽可能减小测量电流带来的传感器温升。
3. 等待恒温箱温度稳定后，记录各温度下的热盘电阻。
4. 线性拟合得到热盘的电阻-温度系数 α。

变温导热系数测量

1. 将样品与热盘传感器夹具压紧，保证良好的热接触。
2. 将样品放入恒温箱，设定不同的环境温度，等待样品温度稳定。
3. 在开关保持断开的情况下，按装置图连接线路，配置电源以恒定电压输出。
4. 配置数据采集器“Scan”模式双通道复用、采样率与采样数，以任意一路电压上升沿为开始采集触发。
5. 闭合开关，开始测量。
6. 通过数据采集器，记录热盘电阻随时间的变化，得到温升曲线。
7. 通过数据处理，得到样品的热导率。

对于不同的材料，需要选取的测量参数也有所不同：

• 对于导热系数较高的良导体，同等加热功率下的温升较小，因此需要选取较大的输出电压，以提高加热功率，获得显著的温升，减小噪声影响。
• 同时，由于良导体达到稳态的时间较短，因此需要提高数据采集器的采样率，以获得足够多的有效数据点。

数据处理方法

• 首先由 ，计算各时刻热盘电阻。
• 将电阻变化量定义为 ΔR = R(T) − R(T₀)，由 计算热盘平均温升，由此得到平均温升与时间的对应关系。
• 将平均温升与时间的对应关系代入如下的优化算法，获取 与 D_s 线性关系的斜率 K。
• 由各时刻测得的电压值与标准电阻阻值，计算加热功率 。
• 由 Λ = P₀(π^3/2aK)⁻¹ 计算待测材料的导热系数。

其中，获取斜率 K 的优化算法如下：

优化算法流程图

不确定度计算： 为简化计算，在此，我们假设热盘直径、电阻温度系数、标准电阻阻值等为定值，只考虑功率测量和斜率拟合的误差，则我们可以使用误差传递公式来计算 Λ 的不确定度。

测量结果与分析

热盘传感器温度系数标定

如下图所示，通过线性拟合，得到热盘传感器的电阻-温度系数 α = 3.67 ± 0.15 mΩ/°C，与理论计算值基本相符。

热盘传感器电阻-温度系数标定曲线

变温导热系数测量

对橡胶在不同温度下的导热系数进行了测量，温升曲线以及其拟合情况结果如下图：

30°C

30°C温升

30°C拟合情况

40°C

40°C温升

40°C拟合情况

50°C

50°C温升

50°C拟合情况

60°C

60°C温升

60°C拟合情况

70°C

70°C温升

70°C拟合情况

由上述测量结果得到的橡胶在不同温度下的拟合斜率，导热系数及其不确定度如下表所示。

设定温度/°C	拟合斜率 K	加热功率/W	导热系数/W·m⁻¹·K⁻¹
30	7.70±0.01	0.5832±1E-4	0.3400±5E-4
40	9.40±0.02	0.5787±1E-4	0.2764±6E-4
50	11.02±0.03	0.5976±1E-4	0.2435±7E-4
60	11.49±0.04	0.5739±1E-4	0.2242±7E-4
70	11.77±0.04	0.5773±1E-4	0.2202±7E-4

如文献结果所示，橡胶这类非定性聚合物的导热系数与温度的关系主要由范德瓦尔斯键影响，并且存在一个玻璃态转变温度，在此温度之下，导热系数与温度呈正相关；而在此温度之上，导热系数与温度呈负相关，并且斜率随温度增大逐渐减小。

本实验的测量范围均在转变温度之上，实验结果也表现出了导热系数随温度的下降趋势，并且斜率随温度增大逐渐减小，与文献实验结果一致。

此外，可以观察到测量过程引起的温升较小，可忽略温升带来的误差，认为测量的导热系数是恒温箱设定温度下的导热系数。

良导体和不良导体的导热系数测量

如“实验方法”一节所述，对于良导体和不良导体，需要选取不同的测量参数，以获得较好的测量效果。

不良导体（橡胶/木材）

对不良导体（导热系数基本在 10⁻²–10⁰ 的数量级），可以选用的测量参数如下：

• 输出电压：1.5000V
• 采样率：500ms
• 采样数：100

木材的测量结果如图所示，橡胶的测量结果与上文一致，在此不再展示：

木材的温升与拟合情况

木材的温升与拟合情况

良导体（铜）

对良导体（导热系数基本在 10²–10⁴ 的数量级），可以选用的测量参数如下：

• 输出电压：3.0000V
• 采样率：100ms
• 采样数：25（实际使用了前10个数据点进行拟合）

铜的测量结果如图所示：

铜的温升与拟合情况

铜的温升与拟合情况

将不同材料的导热系数及其不确定度测量结果汇总如下表所示。

材料	拟合斜率 K	加热功率/W	导热系数/W·m⁻¹·K⁻¹
橡胶	7.70±0.01	0.5832±1E-4	0.3400±5E-4
木材	4.012±0.008	0.54153±6E-5	0.606±0.001
铜	0.86±0.01	2.21022±3E-5	11.54±0.13

该测量结果中，橡胶和木材这类不良导体的测量结果与参考值基本一致，而铜这类良导体的测量结果虽然显著大于不良导体，但与参考值相差较大。

这可能是因为对于良导体，理论的近似条件需要尺寸更小的热盘传感器才能满足，而实验中定制的热盘传感器尺寸对于不良导体来说是合适的，而对于良导体则过大。

因此，对于良导体的测量，还需要定制尺寸更小，更精细的热盘传感器，以实现对良导体导热系数的精确测量。

总结与展望

通过设计定制镍质热盘传感器与控制电路，搭建了较为完善的瞬态平面热源法导热系数测量实验装置。借助自主编写的拟合优化算法，成功测量了不同材料的变温导热系数。

对于不良导体，实验测量的导热系数与参考值基本一致，验证了此测量方法的可行性。同时，测量结果也证明了此方法能够适用于变温导热系数的测量。

而对于良导体，由于传感器几何尺寸相对较大，因此测量结果与参考值相差较大，需要定制更小尺寸的热盘传感器，以实现对良导体导热系数的精确测量。

此实验方案所采用的仪器，如数据采集器、恒压电源等均为实验室常用设备，因此此实验方案具有较高的可复制性，并且综合了电学和热学实验，具有实验教学价值，可作为大学物理导热系数测量实验的扩展与改进。